Da Semântica para Demonstrações de Consistência e a Volta

Palavras-chave: demonstração de consistência, construtividade, interpretação, verdade

Resumo

O presente artigo contém duas teses principais. Primeiro, que o ponto de partida em uma demonstração de consistência de um sistema formal é uma noção semântica. Essa tese é apresentada a partir de uma análise das etapas pelas quais uma demonstração de consistência passa, uma vez que um atributo de fórmulas com base em alguma interpretação deve ser estipulado já na etapa inicial. Para avançar cada uma das etapas, uma demonstração de consistência deve produzir um ganho de entendimento correspondente em relação ao sistema. Confirmamos a tese por um estudo de casos de três sistemas em que três demonstrações construtivas de consistência correspondentes são analisadas. O estudo é restrito a demonstrações construtivas pois no caso modelo-teórico a tese é evidente. Estudamos a lógica de primeira ordem, a aritmética sem indução, também conhecida como aritmética de Robinson, e a aritmética com indução ou de Peano. Em seguida, consideramos a relação entre consistência e verdade na aritmética sob o prisma do estudo de casos. A partir disso, podemos formular a segunda tese: há uma concepção da verdade aritmética que não se compromete de partida com a consistência. Tal tese é motivada tendo em vista as limitações para demonstrações de consistência apresentadas.

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Biografia do Autor

Rodrigo A. Freire, Universidade de Brasília

Possui graduação em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho (2004), doutorado em Filosofia pela Universidade Estadual de Campinas (2009) e doutorado em Matemática pela Universidade de São Paulo (2014). Atualmente é Professor Adjunto da Universidade de Brasília. Tem experiência na área de Lógica com ênfase em estudos fundacionais.

Luiza S. P. Ramos, Universidade de Brasília

Mestranda pela Universidade de Brasília (UnB), na área de Lógica e Filosofia da Matemática. Possui graduação em Filosofia pela UnB.

Referências

BOOLOS, George, Burgess, John, Jeffrey, Richard, Computabilidade e Lógica, Tradução de Cezar Mortari, São Paulo: Editora Unesp, 2012.

BOURBAKI, Nicolas, Théorie des Ensembles, Paris: Hermann, 1970.

FREIRE, Rodrigo, Interpretation and Truth in Set Theory, em Trends in Logic: Vol. 47, Contradictions, from Consistency to Inconsistency, Berlim: Springer, 2018.

HILBERT, David, On the Infinite, em Philosophy of Mathematics: Selected Readings, editado por Paul Benacerraf e Hilary Putnam, Segunda Edição, Cambridge University Press, 1983, pp. 183 - 201.

KLEENE, Stephen, Introduction to Metamathematics, Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1952.

KOHLENBACH, Ulrich, Applied Proof Theory: Proof Interpretations and their Use in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, 2008.

RAGGIO, Andres, A Evolução da Noção de Sistema Axiomático, Philosophos - Revista de Filosofia, vol. 8, no. 1, 2003, pp. 95 - 119.

SHOENFIELD, Joseph, Mathematical Logic, Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company, 1967.

SMORYNSKI, Craig, The Incompleteness Theorems, em Handbook of Mathmatical Logic, editado por Jon Barwise, Amsterdam: North-Holland, 1977, pp. 821 - 865.

TARSKI, Alfred, Mostowski, Andrzej, Robinson, Raphael, Undecidable Theories, Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1953.

VIERO, Arno, Sistemas Axiomáticos Formalizados: A Questão da Desinterpretação e da Formalização da Axiomática, Campinas: Coleção CLE, 2011.

Publicado
2018-12-28
Como Citar
FreireR. A.; RamosL. S. P. Da Semântica para Demonstrações de Consistência e a Volta. Revista de Filosofia Moderna e Contemporânea, v. 6, n. 2, p. 37-56, 28 dez. 2018.