Problema de dois corpos. Parte I: teoria newtoniana e leis de Kepler

Resumo

Neste artigo, que contém a parte $1$ de um longo trabalho sobre o problema clássico do movimento de dois corpos atraindo-se mutuamente através de forças que agem ao longo da reta que os une, apresentamos um texto completo e rico em detalhes técnicos sobre o problema gravitacional de dois corpos atraindo-se de acordo com a força gravitacional de Newton (1687), que certamente servirá como material didático de apoio para professores e alunos envolvidos nas disciplinas de Mecânica Clássica. Após obter a solução analítica exata da equação de movimento e todas as trajetórias possíveis, mostramos que as órbitas limitadas periódicas e não-circulares sempre são elípticas sem avanço do periélio, em pleno acordo com as três leis de Kepler. Indicamos, ao final, como ficam os resultados para o análogo eletrodinâmico, ou seja, dois corpúsculos com cargas elétricas opostas atraindo-se através da força de Coulomb. Na parte $2$, a ser publicada neste mesmo periódico, apresentaremos a tradução inédita para o português do artigo original de Einstein (1915), em que ele usa a Teoria da Relatividade Geral para gerar uma solução \emph{aproximada} para o problema gravitacional de dois corpos relativístico, obtendo órbitas elípticas com uma taxa de precessão do periélio que está em ótimo acordo para o planeta Mercúrio, mas não para os demais planetas do sistema solar. Por fim, na parte $3$ apresentaremos a solução \emph{exata} fornecida pela Mecânica Relacional de Assis (1989), o que nos permitirá comparar os modelos de Newton, Einstein e Assis, mostrando que, embora os dois últimos forneçam a mesma taxa de precessão ($43$''/século), as equações de movimento não são idênticas. Mostraremos também que o avanço do periélio previsto pela Mecânica Relacional se dá em relação às estrelas fixas, justamente como tem sido observado e medido pelos astrônomos, o que não ocorre nos modelos relativísticos.